Trois prisonniers

L’énigme

Trois prisonniers sont condamnés à mort.
On propose d’accorder à au moins l’un d’entre eux de s’en sortir.
On place une marque dans le dos de chacun des prisonniers à leur insu.
S’ils ont le dos marqué et s’il arrivent à deviner qu’ils ont une marque, alors ils peuvent sortir.
Bien sûr, les prisonniers ne peuvent pas communiquer verbalement entre eux, ils peuvent juste contempler le dos de leurs collègues et raisonner.
Chaque prisonnier voit que le dos de ses deux camarades est marqué, mais ne peut pas voir ce qu’il y a dans son propre dos.
Quel raisonnement logique doivent-ils faire pour sortir tous les trois ?

La solution

Soit A, B et C les trois prisonniers,
A voit que B et C sont marqués,
B voit que A et C sont marqués,
C voit que A et B sont marqués.
Prenons le point de vue de A.
Supposons qu’il se pense non-marqué. Alors le problème en est simplifié pour B et C. En effet, ils devraient voir:
Pour B: A non marqué et C marqué.
Pour C: A non marqué et B marqué.
Maintenant, fort de ce raisonnement, mettons-nous dans la tête de B.
S’il se suppose non marqué, alors C doit voir:
A non-marqué et B non-marqué.
Comme il y a au moins un élu C doit réagir au bout d’un certain temps t1, en se disant que c’est lui.
C n’ayant pas agi au bout de ce temps t1, c’est donc que B est marqué.
Le même raisonnement se tient dans la tête de C, au bout du temps t1 il est lui aussi convaincu d’être marqué. Il devrait donc agir, après un temps t2, propice au raisonnement précédent.
Mais, ils ne le font pas. C’est, donc, que l’idée de départ de A était fausse: il est marqué. Comme le même raisonnement se tient dans les têtes de B et C, ils se savent tous marqués au bout d’un temps t3.

Qu’est-ce que ça démontre ?

{Jean-Jacques Gorog} …  Qu’une certitude puisse être obtenue alors même qu’elle repose sur la dimension proprement subjective du raisonnement de l’autre est essentiel à l’expérience analytique, contre l’objectivité certes démonstrative mais sans issue quant à l’acte. Sans doute Lacan discutera ce qui est désigné ici comme intersubjectivité, mais le matériau décrit formidablement comment l’analyse prend son mouvement dans une parole qui met en scène le raisonnement supposé de l’autre à propos de celui qui parle aussi bien que d’un tiers. (1)

(1) Article Le temps logique in